Question

古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16，…这样的数称为“正方形数”.

（1）第5个“三角形数”是            ，第n个“三角形数”是           ，第5个“正方形数”是            ，第n个“正方形数”是             .

（2）除“1”以外，请再写一个既是“三角形数”，又是“正方形数”的数       .

（3）经探究我们发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看做两个相邻“三角形数”之和. 例如：①4=1+3；②9=3+6；③16=6+10；④              ；⑤              ；…请写出上面第4个和第5个等式.

（4）在（3）中，请探究n²=        +         。

Answer

（1）15，，25，n2；

（2）25=10+15，36=15+21；

（3）见解析

【解析】（1）观察发现，第5个三角形数等于第4个三角形数加上5，即为15，第n个“三角形数”等于第（n﹣1）个“三角形数”加上n，即为1+2+3+…+n，计算即可；第5个“正方形数”是52，第n个正方形数是n2；

（2）根据①4=1+3，②9=3+6，③16=6+10即可得出第4个等式为第5个三角形数等于第4个三角形数加上第5个三角形数，第5个等式为第6个三角形数等于第5个三角形数加上第6个三角形数；

（3）第n个等式为第（n+1）个“三角形数”等于第n个“三角形数”加上第（n+1）个“三角形数”．

【解析】
（1）15，，25，n2；

（2）25=10+15，36=15+21；

（3），

∵右边=

=

=n2+2n+1=（n+1）2=左边，

∴原等式成立．

故答案为15，，25，n2；25=10+15，36=15+21．