Question

如图，将一个等腰Rt△ABC对折，使∠A与∠B重合，展开后得折痕CD，再将∠A折叠，使C落在AB上的点F处，展开后，折痕AE交CD于点P，连接PF、EF，下列结论：①tan∠CAE=﹣1；②图中共有4对全等三角形；③若将△PEF沿PF翻折，则点E一定落在AB上；④PC=EC；⑤S_{四边形DFEP}=S_△APF．正确的个数是（　　）

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

Answer

C

【解析】试题解析：①正确．作EM∥AB交AC于M．

∵CA=CB，∠ACB=90°，

∴∠CAB=∠CBA=45°，

∵∠CAE=∠BAE=∠CAB=22.5°，

∴∠MEA=∠EAB=22.5°，

∴∠CME=45°=∠CEM，设CM=CE=a，则ME=AM=a，

∴tan∠CAE=，故①正确，

②正确．△CDA≌△CDB，△AEC≌△AEF，△APC≌△APF，△PEC≌△PEF，故②正确，

③正确．∵△PEC≌△PEF，

∴∠PCE=∠PFE=45°，

∵∠EFA=∠ACE=90°，

∴∠PFA=∠PFE=45°，

∴若将△PEF沿PF翻折，则点E一定落在AB上，故③正确．

④正确．∵∠CPE=∠CAE+∠ACP=67.5°，∠CEP=90°﹣∠CAE=67.5°，

∴∠CPE=∠CEP，

∴CP=CE，故④正确，

⑤错误．∵△APC≌△APF，

∴S△APC=S△APF，

假设S△APF=S四边形DFPE，则S△APC=S四边形DFPE，

∴S△ACD=S△AEF，

∵S△ACD=S△ABC，S△AEF=S△AEC≠S△ABC，

∴矛盾，假设不成立．

故⑤错误．

.

故选C.