Question

如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ=PQ，PR=PS，则下列四个结论：①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP，其中结论正确的的序号为（    ）

A. ①②③    B. ①②④    C. ②③④    D. ①②③④

Answer

D

【解析】试题分析：根据角平分线性质即可推出②，根据勾股定理即可推出AR=AS，根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA，推出∠QPA=∠BAP，根据平行线判定推出QP∥AB即可；求出PQ=CP=BP，根据AAS推出△BRP≌△QSP即可，然后根据线段垂直平分线的判定即可得到AP垂直平分RS．

【解析】
∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，

∴点P在∠A的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，

∴∠SAP=∠RAP，

在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2=AP2﹣PR2，AS2=AP2﹣PS2，

∵AP=AP，PR=PS，

∴AR=AS，∴②正确；

∵AQ=QP，

∴∠QAP=∠QPA，

∵∠QAP=∠BAP，

∴∠QPA=∠BAP，

∴QP∥AR，∴③正确；

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=∠CAB=60°，AB=AC，

∵∠QAP=∠BAP，

∴BP=CP，

∵QP∥AB，

∴∠QPC=∠B=60°=∠C，

∴PQ=CQ，

∴△PQC是等边三角形，

∴PQ=CP=BP，∠SQP=60°=∠B，

∵PR⊥AB，PS⊥AC，

∴∠BRP=∠PSQ=90°，

在△BRP和△QSP中，

，

∴△BRP≌△QSP，∴④正确；

连接RS，

∵PR=PS，

∴点P在RS的垂直平分线上，

∵AS=AR，

∴点A在RS的垂直平分线上，

∴AP垂直平分RS，∴①正确．

故答案为：①②③④．

故选D.

点睛：本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，角平分线性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．