Question

如图，四边形是矩形纸片，AB=2．对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF；展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N，折痕BM与EF相交于点Q再次展平，连接BN，MN，延长MN交BC于点G.有如下结论：①∠ABN= 60°；②AM=1；③；④△BMG是等边三角形；⑤P为线段BM上一动点，H是BN的中点，则PN+PH的最小值是．其中正确结论的序号是___________.

Answer

①④⑤

【解析】如图1,连接AN,

∵EF垂直平分AB，

∴AN=BN，

根据折叠的性质，可得

AB=BN，

∴AN=AB=BN.

∴△ABN为等边三角形。

∴∠ABN=60°,∠PBN=60°÷2=30°，

即结论①正确；

∵∠ABN=60°，∠ABM=∠NBM，

∴∠ABM=∠NBM=60°÷2=30°，

∴AM=AB⋅tan30°=2×=，

即结论②不正确。

∵EF∥BC，QN是△MBG的中位线，

∴QN=BG；

∵BG=BM=AB÷cos∠ABM=2÷=，

∴QN=×=，

即结论③不正确。

∵∠ABM=∠MBN=30°,∠BNM=∠BAM=90°，

∴∠BMG=∠BNM−∠MBN=90°−30°=60°，

∴∠MBG=∠ABG−∠ABM=90°−30°=60°，

∴∠BGM=180°−60°-60°=60°，

∴∠MBG=∠BMG=∠BGM=60°，

∴△BMG为等边三角形，

即结论④正确。

∵△BMG是等边三角形，点N是MG的中点，

∴BN⊥MG,∴BN=BG⋅sin60°=×=2，

根据条件易知E点和H点关于BM对称，

∴PH=PE，

∴P与Q重合时，PN+PH的值最小，此时PN+PH=PN+PE=EN，

∵EN= = ，

∴PN+PH=，

∴PN+PH的最小值是，

即结论⑤正确。

故答案为：①④⑤。

点睛：此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，空间想象能力，考查了数形结合方法的应用.此题还考查了等边三角形的判定和性质的应用，矩形的性质的应用，折叠的性质的应用以及余弦定理的应用，要熟练掌握.