Question

如图，直线y=﹣x﹣4与抛物线y=ax²+bx+c相交于A，B两点，其中A，B两点的横坐标分别为﹣1和﹣4，且抛物线过原点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在坐标轴上是否存在点C，使△ABC为等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）若点P是线段AB上不与A，B重合的动点，过点P作PE∥OA，与抛物线第三象限的部分交于一点E，过点E作EG⊥x轴于点G，交AB于点F，若S_△BGF=3S_△EFP，求的值．

Answer

（1）抛物线解析式为y=x2+4x；（2）存在满足条件的点C，其坐标为（0，﹣3﹣）或（0，﹣3﹣）或（﹣4+3，0）或（﹣4﹣3，0）或（﹣1，0）或（0，1）或（2，0）或（0， ）或（0，﹣）；（3）．

【解析】试题分析：（1）由直线解析式可分别求得A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）当AB=AC时，点C在y轴上，可表示出AC的长度，可求得其坐标；当AB=BC时，可知点C在x轴上，可表示出BC的长度，可求得其坐标；当AC=BC时点C在线段AB的垂直平分线与坐标轴的交点处，可求得线段AB的中点的坐标，可求得垂直平分线的解析式，则可求得C点坐标；

（3）过点P作PQ⊥EF，交EF于点Q，过点A作AD⊥x轴于点D，可证明△PQE∽△ODA，可求得EQ=3PQ，再结合F点在直线AB上，可求得FQ=PQ，则可求得EF=4PQ，利用三角形的面积的关系可求得GF与PQ的关系，则可求得比值．

试题解析：（1）∵A，B两点在直线y=﹣x﹣4上，且横坐标分别为﹣1、﹣4，

∴A（﹣1，﹣3），B（﹣4，0），

∵抛物线过原点，

∴c=0，

把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得 ，解得 ，

∴抛物线解析式为y=x2+4x；

（2）∵△ABC为等腰三角形，

∴有AB=AC、AB=BC和CA=CB三种情况，

①当AB=AC时，当点C在y轴上，设C（0，y），

则AB= =3 ，AC=，

∴3=，解得y=﹣3﹣ 或y=﹣3+，

∴C（0，﹣3﹣）或（0，﹣3﹣）；

当点C在x轴上时，设C（x，0），则AC=，

∴=3，解得x=﹣4或x=2，当x=﹣4时，B、C重合，舍去，

∴C（2，0）；

②当AB=BC时，当点C在x轴上，设C（x，0），

则有AB=3，BC=|x+4|，

∴|x+4|=3，解得x=﹣4+3或x=﹣4﹣3，

∴C（﹣4+3，0）或（﹣4﹣3，0）；

当点C在y轴上，设C（0，y），则BC=，

∴=3，解得y=或y=﹣，

∴C（0， ）或（0，﹣）；

③当CB=CA时，则点C在线段AB的垂直平分线与y轴的交点处，

∵A（﹣1，﹣3），B（﹣4，0），

∴线段AB的中点坐标为（﹣，﹣），

设线段AB的垂直平分线的解析式为y=x+d，

∴﹣=﹣+d，解得d=1，

∴线段AB的垂直平分线的解析式为y=x+1，

令x=0可得y=1，令y=0可求得x=﹣1，

∴C（﹣1，0）或（0，1）；

综上可知存在满足条件的点C，其坐标为（0，﹣3﹣）或（0，﹣3﹣）或（﹣4+3，0）或（﹣4﹣3，0）或（﹣1，0）或（0，1）或（2，0）或（0， ）或（0，﹣）；

（3）过点P作PQ⊥EF，交EF于点Q，过点A作AD⊥x轴于点D，

∵PE∥OA，GE∥AD，

∴∠OAD=∠PEG，∠PQE=∠ODA=90°，

∴△PQE∽△ODA，

∴ =3，即EQ=3PQ，

∵直线AB的解析式为y=﹣x﹣4，

∴∠ABO=45°=∠PFQ，

∴PQ=FQ，BG=GF，

∴EF=4PQ，

∴GE=GF+4PQ，

∵S△BGF=3S△EFP，

∴GF2=3××4PQ2，

∴GF=2 PQ，

∴．

点睛：本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形、相似三角形的判定与性质，在求点C的坐标过程中能正确地分类讨论是解题的关键.