Question

（1）【问题发现】

如图1，在Rt△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为　   　

（2）【拓展研究】

在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；

（3）【问题发现】

当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，直接写出线段AF的长．

Answer

（1）BE=AF；（2）无变化；证明见解析；（3）当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，线段AF的长为﹣1或+1．

【解析】试题分析：（1）先利用等腰直角三角形的性质得出AD= ，再得出BE=AB=2，即可得出结论；

（2）先利用三角函数得出，同理得出，夹角相等即可得出△ACF∽△BCE，进而得出结论；

（3）分两种情况计算，当点E在线段BF上时，如图2，先利用勾股定理求出EF=CF=AD=，BF=，即可得出BE=﹣，借助（2）得出的结论，当点E在线段BF的延长线上，同前一种情况一样即可得出结论．

试题解析：（1）在Rt△ABC中，AB=AC=2，

根据勾股定理得，BC=AB=2，

点D为BC的中点，∴AD=BC=，

∵四边形CDEF是正方形，∴AF=EF=AD=，

∵BE=AB=2，∴BE=AF，

故答案为BE=AF；

（2）无变化；

如图2，在Rt△ABC中，AB=AC=2，

∴∠ABC=∠ACB=45°，∴sin∠ABC=，

在正方形CDEF中，∠FEC=∠FED=45°，

在Rt△CEF中，sin∠FEC=，

∴，

∵∠FCE=∠ACB=45°，∴∠FCE﹣∠ACE=∠ACB﹣∠ACE，∴∠FCA=∠ECB，

∴△ACF∽△BCE，∴ =，∴BE=AF，

∴线段BE与AF的数量关系无变化；

（3）当点E在线段AF上时，如图2，

由（1）知，CF=EF=CD=，

在Rt△BCF中，CF=，BC=2，

根据勾股定理得，BF=，∴BE=BF﹣EF=﹣，

由（2）知，BE=AF，∴AF=﹣1，

当点E在线段BF的延长线上时，如图3，

在Rt△ABC中，AB=AC=2，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴sin∠ABC=，

在正方形CDEF中，∠FEC=∠FED=45°，

在Rt△CEF中，sin∠FEC= ，∴ ，

∵∠FCE=∠ACB=45°，∴∠FCB+∠ACB=∠FCB+∠FCE，∴∠FCA=∠ECB，

∴△ACF∽△BCE，∴ =，∴BE=AF，

由（1）知，CF=EF=CD=，

在Rt△BCF中，CF=，BC=2，

根据勾股定理得，BF=，∴BE=BF+EF=+，

由（2）知，BE=AF，∴AF=+1．

即：当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，线段AF的长为﹣1或+1．