Question

如图1，点D为△ABC边BC的延长线上一点．

 

（1）若∠A∶∠ABC=3∶4，∠ACD=140°，求∠A的度数；

（2）若∠ABC的角平分线与∠ACD的角平分线交于点M，过点C作CP⊥BM于点P．

  求证： ；

（3）在（2）的条件下，将△MBC以直线BC为对称轴翻折得到△NBC，∠NBC的角平分线与∠NCB的角平分线交于点Q（如图2），试探究∠BQC与∠A有怎样的数量关系，请写出你的猜想并证明．

Answer

（1）60°°；

（2）证明见解析；

（3）∠BQC=90°+ ∠A，理由见解析.

【解析】试题分析：（1）先根据∠A：∠ABC=3：4，设∠A=3k，∠ABC=4k，再由三角形外角的性质求出k的值，进而可得出结论；

（2）根据三角形外角的性质得出∠M=∠MCD-∠MBC，∠A=∠ACD-∠ABC．再由MC、MB分别平分∠ACD、∠ABC得出 , ,

故,根据CP⊥BM即可得出结论；

（3）根据BQ平分∠CBN，CQ平分∠BCN可知 , ，再根据三角形内角和定理可知， ,根据轴对称性质知：

∠M=∠N，由此可得出结论．

（1）【解析】
∵，∴可设．

又∵ °，

∴°，

解得 °．

∴°．

（2）证明：

（3）猜想∠BQC=90°+ ∠A．

证明如下： ∵BQ平分∠CBN，CQ平分∠BCN，

∴，

∴

．

由（2）知： ，又由轴对称性质知：∠M=∠N，

∴．

本题考查了三角形的内角和，三角形外角的性质，折叠的性质.（1）见比设参，然后根据外角的性质求解；（2）结合角平分线和外角的性质求解；（2）根据轴对称的性质和（2）的结论求解.