Question

如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．

（1）求证：AF＝BD；

（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

Answer

（1）证明见解析；（2）四边形ADCF是菱形，证明见解析.

【解析】试题分析：（1）利用AAS定理判定三角形全等即可；（2）先判定四边形的形状，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出四边形是平行四边形，再加上领边相等得出菱形即可.

试题解析：

(1)证明∵AF∥BC ∴∠EFA=∠EBD∵ E是AD的中点 ∴AE=DE ∵∠FEA=∠DEB ∴ΔAEF≌ΔDEB（4分）

(2)四边形ADCF是菱形.

理由：∵CA⊥AB∴ΔACB是RtΔ，∵AD是CD边的中线

∴AD=CD=DB.由（1）知AF=DB∴AF=CD又AF∥CD∴四边形ADCF是平行四边形

又∵DA=DC∴平行四边形ADCF是菱形.

点睛：本题的关键是对于中点的相关定理的灵活运用，菱形的判定方法很多，在证明过程中要选择利用已知条件比较简单的方法即可.