Question

如图，抛物线与轴的负半轴交于点，与轴交于点，连结，点在抛物线上，直线与轴交于点.

(1)求的值及直线的函数表达式；

(2)点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，连结与直线交于点，连结并延长交于点，若为的中点.

①求证：；

②设点的横坐标为，求的长(用含的代数式表示).

Answer

(1)c=-3; 直线AC的表达式为：y=x+3；（2）①证明见解析；②

【解析】

试题分析：（1）把点C(6,)代入中可求出c的值；令y=0，可得A点坐标，从而可确定AC的解析式；

（2）①分别求出tan∠OAB=tan∠OAD=，得∠OAB=tan∠OAD，再由M就PQ的中点，得OM=MP，所以可证得∠APM=∠AON，即可证明；

②过M点作ME⊥x轴，垂足为E，分别用含有m的代数式表示出AE和AM的长，然后利用即可求解.

试题分析：（1）把点C(6,)代入

解得：c=-3

∴

当y=0时，

解得：x1=-4，x2=3

∴A（-4，0）

设直线AC的表达式为：y=kx+b(k≠0)

把A（-4，0），C(6,)代入得

解得：k=，b=3

∴直线AC的表达式为：y=x+3

(2)①在RtΔAOB中，tan∠OAB=

在RtΔAOD中，tan∠OAD=

∴∠OAB=∠OAD

∵在RtΔPOQ中，M为PQ的中点

∴OM=MP

∴∠MOP=∠MPO

∵∠MPO=∠AON

∴∠APM=∠AON

∴ΔAPM∽ΔAON

②如图,过点M作ME⊥x轴于点E

又∵OM=MP

∴OE=EP

∵点M横坐标为m

∴AE=m+4 AP=2m+4

∵tan∠OAD=

∴cos∠EAM=cos∠OAD=

∴AM=AE=

∵ΔAPM∽ΔAON

∴

∴AN=

考点：二次函数综合题.