Question

下列关于函数的四个命题：①当时，有最小值10；②为任意实数，时的函数值大于时的函数值；③若，且是整数，当时，的整数值有个；④若函数图象过点和，其中，，则．其中真命题的序号是（   ）

A．① B．② C．③ D．④

Answer

C．

【解析】

试题解析：∵y=x2-6x+10=（x-3）2+1，

∴当x=3时，y有最小值1，故①错误；

当x=3+n时，y=（3+n）2-6（3+n）+10，

当x=3-n时，y=（n-3）2-6（n-3）+10，

∵（3+n）2-6（3+n）+10-[（n-3）2-6（n-3）+10]=0，

∴n为任意实数，x=3+n时的函数值等于x=3-n时的函数值，故②错误；

∵抛物线y=x2-6x+10的对称轴为x=3，a=1＞0，

∴当x＞3时，y随x的增大而增大，

当x=n+1时，y=（n+1）2-6（n+1）+10，

当x=n时，y=n2-6n+10，

（n+1）2-6（n+1）+10-[n2-6n+10]=2n-4，

∵n是整数，

∴2n-4是整数，故③正确；

∵抛物线y=x2-6x+10的对称轴为x=3，1＞0，

∴当x＞3时，y随x的增大而增大，x＜0时，y随x的增大而减小，

∵y0+1＞y0，∴当0＜a＜3，0＜b＜3时，a＞b，当a＞3，b＞3时，a＜b，当0＜a＜3，b＞3时，a，b的大小不确定，故④错误；

故选C．

考点：二次函数的性质.