Question

已知正方形的对角线，相交于点．

（1）如图1，，分别是，上的点，与的延长线相交于点．若，求证：；

（2）如图2，是上的点，过点作，交线段于点，连结交于点，交于点．若，

①求证：；

②当时，求的长．

Answer

（1）证明见解析（2）①证明见解析②

【解析】

试题分析：（1）根据正方形的性质，可根据三角形全等的判定（ASA）与性质求证即可；

（2）①同（1）中，利用上面的结论，根据SAS可证的结论；

②设CH=x，然后根据正方形的性质和相似三角形的判定与性质可得，然后列方程求解即可.

试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形

∴AC⊥BD，OD=OC

∴∠DOG=∠COE=90°

∴∠OEC+∠OCE=90°

∵DF⊥CE

∴∠OEC+∠ODG=90°

∴∠ODG=∠OCE

∴△DOG≌△COE（ASA）

∴OE=OG

（2）①证明：∵OD=OC，∠DOG=∠COE=90°

又OE=OG

∴△DOG≌△COE（SAS）

∴∠ODG=∠OCE

②解：设CH=x，

∵四边形ABCD是正方形，AB=1

∴BH=1-x

∠DBC=∠BDC=∠ACB=45°

∵EH⊥BC

∴∠BEH=∠EBH=45°

∴EH=BH=1-x

∵∠ODG=∠OCE

∴∠BDC-∠ODG=∠ACB-∠OCE

∴∠HDC=∠ECH

∵EH⊥BC

∴∠EHC=∠HCD=90°

∴△CHE∽△DCH

∴

∴HC2=EH·CD

得x2+x-1=0

解得，（舍去）

∴HC=

考点：1、正方形的性质，2、全等三角形的判定与性质，3、相似三角形的判定与性质，4、解一元二次方程