Question

如图，为半圆的直径，是⊙的一条弦，为的中点，作,交的延长线于点,连接.

（1）求证：为半圆的切线；

（2）若，求阴影区域的面积.（结果保留根号和π）

Answer

（1）证明见解析（2）-6π

【解析】

试题分析：（1）直接利用切线的判定方法结合圆心角定理分析得出OD⊥EF，即可得出答案；

（2）直接利用得出S△ACD=S△COD，再利用S阴影=S△AED﹣S扇形COD，求出答案．

试题解析：（1）连接OD，

∵D为的中点，

∴∠CAD=∠BAD，

∵OA=OD，

∴∠BAD=∠ADO，

∴∠CAD=∠ADO，

∵DE⊥AC，

∴∠E=90°，

∴∠CAD+∠EDA=90°，即∠ADO+∠EDA=90°，

∴OD⊥EF，

∴EF为半圆O的切线；

（2）连接OC与CD，

∵DA=DF，

∴∠BAD=∠F，

∴∠BAD=∠F=∠CAD，

又∵∠BAD+∠CAD+∠F=90°，

∴∠F=30°，∠BAC=60°，

∵OC=OA，

∴△AOC为等边三角形，

∴∠AOC=60°，∠COB=120°，

∵OD⊥EF，∠F=30°，

∴∠DOF=60°，

在Rt△ODF中，DF=6，

∴OD=DF•tan30°=6，

在Rt△AED中，DA=6，∠CAD=30°，

∴DE=DA•sin30°·，EA=DA•cos30°=9，

∵∠COD=180°﹣∠AOC﹣∠DOF=60°，

∴CD∥AB，

故S△ACD=S△COD，

∴S阴影=S△AED﹣S扇形COD=×9×3﹣π×62=﹣6π．

考点：1、切线的判定与性质；2、扇形面积的计算