Question

如图，正方形ABCD中，BE=EF=FC，CG=2GD，BG分别交AE，AF于M，N．下列结论：①AF⊥BG；②BN=NF；③；④S_{四边形CGNF}=S_{四边形ANGD}．其中正确的结论的序号是  ．

Answer

①③.

【解析】

试题分析：①易证△ABF≌△BCG，即可解题；②易证△BNF∽△BCG，即可求得的值，即可解题；③作EH⊥AF，令AB=3，即可求得MN，BM的值，即可解题；④连接AG，FG，根据③中结论即可求得S四边形CGNF和S四边形ANGD，即可解题．

①∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=CD，

∵BE=EF=FC，CG=2GD，∴BF=CG，

∵在△ABF和△BCG中，，

∴△ABF≌△BCG，∴∠BAF=∠CBG，

∵∠BAF+∠BFA=90°，∴∠CBG+∠BFA=90°，即AF⊥BG；①正确；

②∵在△BNF和△BCG中，，

∴△BNF∽△BCG，∴,∴BN=NF；②错误；

③作EH⊥AF，令AB=3，则BF=2，BE=EF=CF=1，

AF=，

∵S△ABF=AFBN=ABBF，∴BN=，NF=BN=，

∴AN=AF﹣NF=，∵E是BF中点，

∴EH是△BFN的中位线，∴EH=，NH=，BN∥EH，

∴AH=，，解得：MN=，

∴BM=BN﹣MN=，MG=BG﹣BM=，∴,③正确；

④连接AG，FG，根据③中结论，

则NG=BG﹣BN=，∵S四边形CGNF=S△CFG+S△GNF=CGCF+NFNG=1+，

S四边形ANGD=S△ANG+S△ADG=ANGN+ADDG=,∴S四边形CGNF≠S四边形ANGD，④错误；

故答案为 ①③．

考点：全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质.