Question

如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），连接AP，过点B作BQ⊥AP交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交BA的延长线于点M．

（1）试探究AP与BQ的数量关系，并证明你的结论；

（2）当AB=3，BP=2PC，求QM的长；

（3）当BP=m，PC=n时，求AM的长．

Answer

（1）AP=BQ，理由参见解析；（2）；（3）．

【解析】试题分析：（1）要证AP=BQ，只需证△PBA≌△QCB即可；

（2）过点Q作QH⊥AB于H，如图．易得QH=BC=AB=3，BP=2，PC=1，然后运用勾股定理可求得AP（即BQ）=，BH=2．易得DC∥AB，从而有∠CQB=∠QBA．由折叠可得∠C′QB=∠CQB，即可得到∠QBA=∠C′QB，即可得到MQ=MB．设QM=x，则有MB=x，MH=x﹣2．在Rt△MHQ中运用勾股定理就可解决问题；

（3）过点Q作QH⊥AB于H，如图，同（2）的方法求出QM的长，就可得到AM的长．

【解析】
（1）AP=BQ．

理由：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°，

∴∠ABQ+∠CBQ=90°．

∵BQ⊥AP，∴∠PAB+∠QBA=90°，

∴∠PAB=∠CBQ．

在△PBA和△QCB中，

，

∴△PBA≌△QCB，

∴AP=BQ；

（2）过点Q作QH⊥AB于H，如图．

∵四边形ABCD是正方形，

∴QH=BC=AB=3．

∵BP=2PC，

∴BP=2，PC=1，

∴BQ=AP===，

∴BH===2．

∵四边形ABCD是正方形，

∴DC∥AB，

∴∠CQB=∠QBA．

由折叠可得∠C′QB=∠CQB，

∴∠QBA=∠C′QB，

∴MQ=MB．

设QM=x，则有MB=x，MH=x﹣2．

在Rt△MHQ中，

根据勾股定理可得x2=（x﹣2）2+32，

解得x=．

∴QM的长为；

（3）过点Q作QH⊥AB于H，如图．

∵四边形ABCD是正方形，BP=m，PC=n，

∴QH=BC=AB=m+n．

∴BQ2=AP2=AB2+PB2，

∴BH2=BQ2﹣QH2=AB2+PB2﹣AB2=PB2，

∴BH=PB=m．

设QM=x，则有MB=QM=x，MH=x﹣m．

在Rt△MHQ中，

根据勾股定理可得x2=（x﹣m）2+（m+n）2，

解得x=m+n+，

∴AM=MB﹣AB=m+n+﹣m﹣n=．

∴AM的长为．

考点：四边形综合题；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；轴对称的性质．