Question

如图，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB＝AC＝2，直角顶点A在直线y＝x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB，AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线y＝ (k≠0)与△ABC有交点，则k的取值范围是____．

Answer

1≤k≤4

【解析】如图，设直线y=x与BC交于E点，分别过A. E两点作x轴的垂线，垂足为D， F，EF交AB于M，

∵A点的横坐标为1，A点在直线y=x上，∴A(1,1)，

又∵AB=AC=2，AB∥x轴，AC∥y轴，∴B(3,1)，C(1,3)，且△ABC为等腰直角三角形，

BC的中点坐标为 )，即为(2,2)，

∵点(2,2)满足直线y=x，∴点(2,2)即为E点坐标，E点坐标为(2,2)，

∴k=OD×AD=1，或k=OF×EF=4，

当双曲线与△ABC有唯一交点时，1⩽k⩽4.

故答案为：1⩽k⩽4.