Question

如图，点C为△ABD外接圆上的一点（点C不在上，且不与点B，D重合），且∠ACB=∠ABD=45°，若BC=8，CD=4，则AC的长为（     ）

A. 8.5    B.     C.     D.

Answer

D

【解析】在CD延长线上截取DE=BC，连接EA，只需要证明△EAF是等腰直角三角形即可得出结论；

【解析】
在CD的延长线上截取DE=BC，连接EA，

∵∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，

∵∠ADE+∠ADC=180°，

∠ABC+∠ADC=180°，

∴∠ABC=∠ADE，

在△ABC与△ADE中，

AB=AD，∠ABC=∠ADE，BC=DE，

∴△ABC≌△ADE（SAS），

∴∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，

∴∠BAD=∠CAE=90°，

∵=，

∴∠ACD=∠ABD=45°，

∴△CAE是等腰直角三角形，

∴AC=CE，

∴AC=CD+DE=CD+BC；

∴AC=.

“点睛”本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定等知识，综合程度较高，解决本题的关键就是构造等腰直角三角形．