Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，已知点A（﹣6，0），D（﹣7，3），点B、C在第二象限内．

（1）求点B的坐标。

（2）将正方形ABCD以每秒1个单位的速度沿x轴向右平移t秒，若存在某一时刻t，使在第一象限内点B、D两点的对应点B′、D′正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式；

（3）在（2）的情况下，问是否存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）B（﹣3，1）；

（2）t的值为9，反比例函数解析式为y=；

（3）符合题意的点P、Q的坐标为P（，0）、Q（，4）或P（7，0）、Q（3，2）．

【解析】（1）过程略B（﹣3，1）

【解析】
（2）设反比例函数为y=，

由题意得：点B′坐标为（﹣3+t，1），点D′坐标为（﹣7+t，3），

∵点B′和D′在该比例函数图象上，

∴k=（﹣3+t）×1=（﹣7+t）×3，

解得：t=9，k=6，

∴反比例函数解析式为y=．

(3) ）假设存在，设点P的坐标为（m，0），点Q的坐标为（n，）．

以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形分两种情况：

①当B′D′为对角线时，设线段B′D′的中点为M，如图2所示．

∵点B′（6，1），点D′（2，3），点M为线段B′D′的中点，

∴点M的坐标为（4，2），

∵点M是线段PQ的中点，

∴，解得：，

∴P（，0），Q（，4）；

②当B′D′为边时．

∵四边形PQB′D′为平行四边形，

∴，解得：，

∴P（7，0），Q（3，2）．

综上可知：存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形，符合题意的点P、Q的坐标为P（，0）、Q（，4）或P（7，0）、Q（3，2）．