Question

如图，在平面直角坐标系中．直线y=2x与反比例函数y=在第一象限内的图象交于点A(m，2)．将直线y=2x向下平移后与反比例函数y=在第一象限内的图象交于点P．且△POA的面积为2．

(1)求k的值；

(2)求平移后的直线的函数解析式.

Answer

(1)k=2；(2)y=2x-4

【解析】试题分析：（1）由点A的纵坐标求得m，即点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数中即可；（2）先求出PM，再求出BN然后用锐角三角函数求出OB，即可．

试题解析：(1)∵点A(m,2)在直线y=2x上，

∴2=2m，

∴m=1，

∴点A(1,2)，

∵点A(1,2)在反比例函数y=上，

∴k=2，

(2)如图，

设平移后的直线与y轴相交于B，过点P作PM⊥OA，BN⊥OA，AC⊥y轴

由(1)知,A(1,2)，

∴OA=,sin∠BON=sin∠AOC=，

∵S△POA=OA×PM=×PM=2，

∴PM=，

∵PM⊥OA，BN⊥OA，

∴PM∥BN，

∵PB∥OA，

∴四边形BPMN是平行四边形，

∴BN=PM=，

∵sin∠BON=，

∴OB=4，

∵PB∥AO，

∴B(0,−4)，

∴平移后的直线PB的函数解析式y=2x−4.

点睛：此题是反比例函数和一次函数的交点问题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，平行四边形的判定和性质，坐标与图形变化-平移，锐角三角函数的意义，解本题的关键是作出辅助线.