Question

如图，二次函数的图象与一次函数的图象相交于、两点，从点和点分别引平行于轴的直线与轴分别交于，两点，点为线段上的动点，过点且平行于轴的直线与抛物线和直线分别交于，．

（1）求一次函数和二次函数的解析式，并求出点的坐标．

（2）当SR=2RP时，计算线段SR的长．

（3）若线段BD上有一动点Q且其纵坐标为t+3，问是否存在t的值，使．若存在，求的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）y=x+4，y=x2，B（4，8）；（2）或4；（3）-1．

【解析】（1）将A点坐标分别代入抛物线和直线的解析式中即可求出两函数的解析式．然后联立两函数的函数式形成方程组，即可求出B点的坐标．

（2）线段SR实际是直线AB的函数值和抛物线函数值的差．而RP的长实际是R点的纵坐标，根据SR=2RP可得出一个关于P点横坐标t的方程，据此可求出P点的横坐标t．然后代入SR的表达式即可求出SR的长．

（3）可用t表示出BQ的长，再根据D，P的坐标用t表示出R到BD的距离，然后根据三角形的面积公式即可得出△BRQ的面积表达式，根据其面积为15可求出t的值．

【解析】
（1）由题意知点A（-2，2）在y=ax2的图象上，

又在y=x+b的图象上，

所以得2=a（-2）2和2=-2+b，

∴a=，b=4，

∴一次函数的解析式为y=x+4，

二次函数的解析式为y=x2，

由，解得，

所以B点的坐标为（4，8）；

（2）因过点P（t，0）且平行于y轴的直线为x=t，

所以点S的坐标（t，t+4），点R的坐标（t，t2），

所以SR=t+4-t2，RP=t2，

由SR=2RP得t+4-t2=2×t2，

解得t=-或t=2，

因点P（t，0）为线段CD上的动点，所以-2≤t≤4，

所以t=-或t=2，

当t=-时，

当t=2时，SR=2+4-×22=4，

所以线段SR的长为或4；

（3）因BQ=8-（t+3）=5-t，

点R到直线BD的距离为4-t，

所以S△BPQ=，

解得t=-1或t=10，

因为-2≤t≤4，所以t=-1.

点睛：本题是一道二次函数综合题，主要考查二次函数的图象与性质.熟练应用二次函数的性质并用动态的角度分析解决二次函数与几何综合问题是解题的关键.