Question

某公司试销一种成本为30元/件的新产品，按规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，试销中每天的销售量（件）与销售单价（元/件）满足下表中的一次函数关系．

（元/件）	35	40
（件）	550	500

（1）试求y与x之间的函数表达式；

（2）设公司试销该产品每天获得的毛利润为（元），求与之间的函数表达式（毛利润=销售总价—成本总价）；

（3）当销售单价定为多少时，该公司试销这种产品每天获得的毛利润最大？最大毛利润是多少？此时每天的销售量是多少？

Answer

（1）y=-10x+900；（2）S=-10x2+1200x-27000（30≤x≤80）；（3）当销售单价定为60元/件时，该公司试销这种产品每天获得的毛利润最大，最大毛利润是9000元，此时每天的销售量是300件．

【解析】（1）根据表格数据及每天的销售量y和销售单价x之间为一次函数的关系，可用待定系数法将y与x之间的函数表达式求出；

（2）根据：毛利润=（每件产品的销售价-成本）×销售量，可求出S与x之间的函数表达式；

（3）由（2）知，当x= 时，二次函数能取得极值．

【解析】
设y与x之间的函数关系满足y=kx+b

把x=40，y=500；x=50，y=400

分别代入上式得：

解得

∴y=-10x+900

(2)毛利润S=（x-30）•y

=（x-30）（-10x+900）

=-10x2+1200x-27000（30≤x≤80）

(3) 当x=60时

S最大=-10×602+1200×60-27000=9000（元）

此时每天的销售量为：y=-10×60+900=300（件）．

∴当销售单价定为60元/件时，该公司试销这种产品每天获得的毛利润最大，最大毛利润是9000元，此时每天的销售量是300件．