Question

如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点A和点D，且点A的横坐标为1，点D的纵坐标为-1．过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为1．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式．

（2）若一次函数的图象与x轴相交于点C，求∠ACO的度数．

（3）结合图象直接写出：当时，x的取值范围．

Answer

（1）， ；（2）45°；（3） 或；

【解析】分析：（1）由△AOB的面积为1，点A的横坐标为1，求点A的纵坐标，确定反比例函数解析式，利用反比例函数解析式求D点坐标，利用“两点法”求一次函数解析式；（2）由一次函数解析式求C点坐标，再求AB、BC，在Rt△ABC中，求tan∠ACO的值，再求∠ACO的度数；（3）当时， 的图象在的上面，由此求出x的取值范围．

本题解析：（1）∵，∴ OA•OB=1，

又∵OB=1，∴AB=2，即A（1，2），

把A点坐标代入中，得k=2，∴y= ，

把y=-1代入y= 中，得x=-2，∴D（-2，-1），

设直线AD解析式为y=ax+b，

将A、D两点坐标代入，得，解得 ，

∴y=x+1；

（2）由直线y=x+1可知，C（-1，0），则BC=OB+OC=2，AB=2，

所以，在Rt△ABC中，tan∠ACO==1，

故∠ACO=45°；

（3）由图象可知，当＞时，x＜-2或0＜x＜1．

点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是由已知条件求交点坐标，根据交点坐标求反比例函数、一次函数的解析式，利用解析式，数形结合解答本题.