Question

如图，在中，AB=AC,以AC边为直径作⊙O交BC边于点D,过点D作于点E，ED、AC的延长线交于点F.

(1)求证：EF是⊙O的切线；

(2)若且，求⊙O的半径与线段AE的长.

Answer

（1）证明见解析；（2）⊙的半径长为，AE=

【解析】试题分析：（1）连结OD，如图，由AB=AC得到∠B=∠ACD，由OC=OD得到∠ODC=∠OCD，则∠B=∠ODC，于是可判断OD∥AB，然后利用DE⊥AB得到OD⊥EF，然后根据切线的判定定理得到结论；

（2）在Rt△ODF利用正弦的定义得到sin∠OFD=，则可设OD=3x，OF=5x，所以AB=AC=6x，AF=8x，在Rt△AEF中由于sin∠AFE=，可得到AE=x，接着表示出BE得到x=，解得x=，于是可得到AE和OD的长．

试题解析：

（1）如图，连结，

∵，

∴.

∵，

∴.

∴，

∴∥

∵，

∴.

∴是⊙的切线

（2）在和中，

∵，

∴ .

设，则.

∴，

∵，

∴

∴，解得=，

∴⊙的半径长为 ， =