Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足若,连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3.

（1）求证：△ADF∽△AED；

（2）求FG的长；

（3）求tan∠E的值．

Answer

(1)证明见解析;(2)FG =2;(3) .

【解析】分析：（1）由AB是 O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理可得：弧AD=弧AC，DG=CG，继而证得△ADF∽△AED；（2）由 ,CF=2，可求得DF的长，继而求得CG=DG=4，则可求得FG=2；（3）由勾股定理可求得AG的长，即可求得tan∠ADF的值，继而求得tan∠E= .

本题解析：①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，

∴DG=CG，∴，∠ADF=∠AED，

∵∠FAD=∠DAE（公共角），∴△ADF∽△AED；

②∵，CF=2，∴FD=6，∴CD=DF+CF=8，

∴CG=DG=4，∴FG=CG-CF=2；

③∵AF=3，FG=2，∴AG=，

点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识点，考查内容较多，综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合的思想.