Question

如图，四边形ABCD为菱形，AB=BD，点B、C、D、G四个点在同一个圆⊙O上，连接BG 并延长交AD于点F，连接DG并延长交AB于点E，BD与CG交于点H，连接FH，下列结 论：①AE=DF；②FH∥AB；③△DGH∽△BGE；④当CG为⊙O的直径时，DF=AF．其中正确结论的个数是（    ）

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

Answer

D

【解析】∵四边形ABCD为菱形，AB＝BD，∴△ABD是等边三角形，∵B，C，D，G四个点在同一个⊙O上，∴∠GDC＋∠GBC＝180°，又∠BDC＝∠DBC＝60°，∴∠GDB＋∠GBD＝60°，又∠ADE＋∠EDB＝60°，∴∠ADE＝∠DBF．在△ADE和△DBF中，∠A＝∠ADB，AD＝DB，∠ADE＝∠DBF，∴△ADE≌△DBF，∴AE＝DF，故①正确；∵B，C，D，G四个点在同一个⊙O上，∴∠DCG＝∠DBG，又∠DBG＝∠ADE，

∴∠ADE＝∠DCG．在△ADE和△CDH中，∠A＝∠BDC，AD＝DC，∠ADE＝∠DCG，∴△ADE≌△DCH，∴AE＝DH，又DF＝AE，∴DF＝DH．又∠ADB＝60°，∴∠DFH＝60°，∴FH∥AB，故②正确；由△ADE≌△DCH，得∠AED＝∠DHC，∴∠DHG＝∠DEB，又∠ADE＝∠DBG，∴∠EDB＝∠FBE，∴△DGH∽△BGE，故③正确；当CG为⊙O的直径时，∠GBD＝30°，又∠ADB＝60°，∠DFB＝90°，∵△ADB是等边三角形，∴DF＝AF，故④正确．故选D．