Question

已知AB是半圆O的直径，点C在半圆O上.

（1）如图1，若AC＝3，∠CAB＝30°，求半圆O的半径；

（2）如图2，M是的中点，E是直径AB上一点，AM分别交CE，BC于点F，D. 过点F作FG∥AB交边BC于点G，若△ACE与△CEB相似，请探究以点D为圆心，GB长为半径的⊙D与直线AC的位置关系，并说明理由.

Answer

（1）半圆O的半径为；

（2）⊙D与直线AC相切，理由见解析

【解析】试题分析：(1)依据直径所对的圆周角是直角可得∠C＝90°,2再依据三角函数即可求解;(2) 依据△ACE与△CEB相似证出∠AEC＝∠CEB＝90°, 再依据M是的中点,证明CF＝CD, 过点F作FP∥GB交于AB于点P, 证出△ACF≌△APF,得出CF=FP,再证四边形FPBG是平行四边形,得到 FP＝GB从而CD＝GB,点D到直线AC的距离为线段CD的长.

试题解析：

（1）∵ AB是半圆O的直径，

∴ ∠C＝90°．

在Rt△ACB中，AB＝

＝

＝2 ．

∴ OA＝

（2）

⊙D与直线AC相切.

理由如下：

由（1）得∠ACB＝90°．

∵ ∠AEC＝∠ECB＋∠6，

∴ ∠AEC＞∠ECB，∠AEC＞∠6．

∵ △ACE与△CEB相似，

∴ ∠AEC＝∠CEB＝90°．

在Rt△ACD，Rt△AEF中分别有

∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°．

∵ M是的中点，

∴ ∠COM＝∠BOM．

∴ ∠1＝∠2，

∴ ∠3＝∠4．

∵ ∠4＝∠5，

∴ ∠3＝∠5．

∴ CF＝CD．

过点F作FP∥GB交于AB于点P，则∠FPE＝∠6．

在Rt△AEC，Rt△ACB中分别有

∠CAE＋∠ACE＝90°，∠CAE＋∠6＝90°．

∴ ∠ACE＝∠6＝∠FPE．

又∵ ∠1＝∠2，AF＝AF，

∴ △ACF≌△APF．

∴ CF＝FP．

∵ FP∥GB，FG∥AB，

∴ 四边形FPBG是平行四边形．

∴ FP＝GB．

∴ CD＝GB．

∵ CD⊥AC，

∴ 点D到直线AC的距离为线段CD的长

∴ ⊙D与直线AC相切.