Question

在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，m)，且m≠0，点B的坐标为(n，0)，将线段AB绕点B旋转90°，分别得到线段B P₁，B P₂，称点P₁，P₂为点A关于点B的“伴随点”，图1为点A关于点B的“伴随点”的示意图．

(1)已知点A(0，4)，

①当点B的坐标分别为(1，0)，(-2，0)时，点A关于点B的“伴随点”的坐标分别为     ；

②点（x，y）是点A关于点B的“伴随点”，直接写出y与x之间的关系式；

(2)如图2，点C的坐标为(-3，0)，以C为圆心， 为半径作圆，若在⊙C上存在点A关于点B的“伴随点”，直接写出点A的纵坐标m的取值范围．

Answer

（1）①（-3，-1），（5，1）；（-6，2），（2，-2）；②y=x-4或y=-x-4.

（2）-5≤m≤-1或1≤m≤5

【解析】试题分析：(1)①作 ⊥x轴于点M，作⊥x轴于点N，根据已知条件易证≌ ≌，根据全等三角形的性质可得=OB= ，OA=BM=BN，根据A(0，4)，当点B的坐标为(1，0)时，即可求得点A关于点B的“伴随点”的坐标分别为（-3，-1），（5，1）；根据A(0，4)，当点B的坐标为(-2，0)时，即可求得点A关于点B的“伴随点”的坐标分别为（-6，2），（2，-2）；②由①可知，x=y+4或-x-y=4，即可得y与x之间的关系式为y=x-4或y=-x-4；（2）设点A的坐标为（0，m），点（x，y）是点A关于点B的“伴随点”，由（1）的方法可得y=x-m或y=-x-m，当直线y=x-m相切时，如图（图中的红线），根据直线y=x-m与x轴、y轴所围成的三角形为等腰直角三角形、切线的性质。勾股定理可求得m=1，或m=5，即可得1≤m≤5，当直线y=-x-m相切时，如图（图中的蓝线），同理可得-5≤m≤-1，所以点A的纵坐标m的取值范围为-5≤m≤-1或1≤m≤5.

试题解析：

（1）①（-3，-1），（5，1）；（-6，2），（2，-2）.

②y=x-4或y=-x-4.

（2）-5≤m≤-1或1≤m≤5

点睛：本题考查的是坐标与图形的变化综合题，涉及到阅读理解、全等三角形的判定及性质、圆的切线的性质、一次函数的性质等知识，判定出点（x，y）是点A关于点B的“伴随点”中y与x的函数关系式y=x-m或y=-x-m，根据直线与圆相切的两种情况求得m的取值范围．