Question

如图，已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆O与边BC交于点D，与边AC交于点E，过点D作DF⊥AC于F．

（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若DE=，AB=，求AE的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】（1）连接AD、CD，则∠ADB=90°，AD⊥BC，又因为AB=AC，所以BD=DC，OA=OB，OD∥AC，易证DF⊥OD，故DF为⊙O的切线；

（2）连接BE交OD于G，由于AC=AB，AD⊥BC，ED⊥BD，故∠EAD=∠BAD， =，ED=BD，OE=OB，

故OD垂直平分EB，EG=BG，因为AO=BO，所以OG=AE，在Rt△DGB和Rt△OGB中，BD2-DG2=BO2-OG2，代入数值即可求出AE的值.

证明：（1）连接AD，OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=DC，∵OA=OB，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴DF⊥OD，∴DF为⊙O的切线；

（2）连接BE交OD于G，∵AC=AB，AD⊥BCED⊥BD，∴∠EAD=∠BAD，∴，∴ED=BD，OE=OB，∴OD垂直平分EB，∴EG=BG，又AO=BO，

∴OG=AE．在Rt△DGB和Rt△OGB中，

BD2﹣DG2=BO2﹣OG2，∴（）2－（－OG）2=BO2－OG2，

解得：OG=．∴AE=2OG=．

“点睛”本题比较复杂，涉及到切线的判定定理及勾股定理，等腰三角形的性质，具有很强的综合性.