Question

在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C₁OD₁，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），连接AC₁、BD₁，AC₁与BD₁交于点P．

（1）如图1，若四边形ABCD是正方形．

①求证：△AOC₁≌△BOD₁．        

②请直接写出AC₁与BD₁的位置关系．

（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AC=5，BD=7，设AC₁=k BD₁．判断AC₁与BD₁的位置关系，说明理由，并求出k的值．

（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，AC=4，BD=8，连接DD₁，设AC₁=kBD₁．请直接写出k的值并直接说出（2）中AC₁与DD₁的位置关系。（不必说明理由）．

Answer

（1）

①证明见解析；

②ＡC1⊥BD1，理由见解析；

（2）k的值为；

（3）k=，AC1∥DD1

【解析】试题分析：（1）①如图1，根据正方形的性质得OC=OA=OD=OB，AC⊥BD，则∠AOB=∠COD=90°，再根据旋转的性质得OC1=OC，OD1=OD，∠COC1=∠DOD1，则OC1=OD1，利用等角的补角相等得∠AOC1=∠BOD1，然后根据“SAS”可证明△AOC1≌△BOD1；

②由∠AOB=90°，则∠OAB+∠ABP+∠OBD1=90°，所以∠OAB+∠ABP+∠OAC1=90°，则

∠APB=90°所以AC1⊥BD1；

（2）如图2，根据菱形的性质得OC=OA=AC，OD=OB= BD，AC⊥BD，则∠AOB=∠COD=90°，再根据旋转的性质得OC1=OC，OD1=OD，∠COC1=∠DOD1，则OC1=OA，OD1=OB，利用等角的补角相等得∠AOC1=∠BOD1，加上=，根据相似三角形的判定方法得到△AOC1∽△BOD1，得到∠OAC1=∠OBD1，由∠AOB=90°得∠OAB+∠ABP+∠OBD1=90°，则∠OAB+∠ABP+∠OAC1=90°，则∠APB=90°，所以AC1⊥BD1；然后根据相似比得到==，所以k=；

（3）与（2）一样可证明△AOC1∽△BOD1，则==,

AC

BD

所以k=；根据旋转的性质得OD1=OD，根据平行四边形的性质得OD=OB，则OD1=OB=OD，于是可判断△BDD1为直角三角形，根据勾股定理得BD12+DD12=BD2=100，

所以（2AC1）²+DD1²=100，于是有AC1²+（kDD1）²=25．

试题解析：（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形∴ＡＣ＝ＢＤ，OC＝OA=ＡＣ，

ＯＤ＝OB=ＢＤ∴OC=OA=ＯＤ＝OB，∵△C1OD1由△COD绕点O旋转得到

∴OC1= OC，OD1=OD，∠COC1=∠DO D1∴OC1= OD1 ,∠AO C1=∠BO D1

∴△AO C1≌△BOD1

②ＡC1⊥BD1

(2）ＡC1⊥BD1理由如下：

∵四边形ABCD是菱形∴OC＝OA=ＡＣ，OＤ＝OB=ＢＤ，AC⊥BD

∵△C1OD1由△COD绕点O旋转得到∴OC1= OC，OD1=OD，∠COC1=∠DO D1

∴OC1＝OA ，OD1＝OB，∠AOC1=∠BOD1∴

∴= ∴△AOC1∽△BOD1 ∴∠OAC1= ∠OBD1

又∵∠AOB=90°∴∠O AB+∠ABP+∠OBD1=90°∴∠OAB+∠ABP+∠OAC1=90°

∴∠APB=90°ＡC1⊥BD1∵△AOC1∽△BOD1

∴ ==∴K=

（3）如图3,与(2)一样可证明△AOC₁∽△BOD₁，

∴==，

∴k=；

∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C₁OD₁，

∴OD₁=OD，

而OD=OB，

∴OD₁=OB=OD，

∴△BDD₁为直角三角形，

在Rt△BDD₁中，

BD₁²+DD₁²=BD²=100，

∴(2AC₁)²+DD₁²=100，

∴AC₁²+(kDD₁)²=25.

点睛:这道题用到的知识点有: 四边形综合题, 全等三角形的判定与性质, 旋转的性质, 相似三角形的判定与性质,解决直线的位置关系时基本上能判断出要么平行,要么垂直,一般思路是运用勾股定理或相似三角形,当有直角三角形且已知两边时常采用勾股定理,若没有直角三角形的出现则常采用证明三角形相似,根据相似三角形的性质求解.