Question

在△ABC中，AB=AC=10，cosB=，如果圆O的半径为2，且经过点B、C，那么线段AO的长等于__．

Answer

10或6

【解析】分两种情况考虑：

(1)如图所示，

∵AB=AC，OB=OC，

∴AO垂直平分BC，

∴OA⊥BC，D为BC的中点，

在Rt△ABD中,AB=10,cos∠ABC=，

∴BD=3，

根据勾股定理得：AD==8，

在Rt△BDO中,OB=，BD=3，

根据勾股定理得：OD==2，

则AO=AD+OD=8+2=10；

(2)如图所示，

作AD⊥BC于D，

∵AB=AC，

∴AD垂直平分BC，

∴点O在AD上，连接OB，

在Rt△ABD中,cosB==，

∴BD=10×=6，

∴AD==8，

在Rt△BOD中,OD==2，

∴OA=AD−OD=8−2=6.

综上，OA的长为6或10.

故答案为：6或10.

点睛:这道题用到的知识点有解直角三角形,等腰三角形的性质,垂径定理及勾股定理, 分两种情况考虑：（1）如图1所示，由AB=AC，OB=OC，利用线段垂直平分线逆定理得到AO垂直平分BC，在直角三角形ABD中，由AB及cos∠ABC的值，利用锐角三角函数定义求出BD的长，再利用勾股定理求出AD的长，在直角三角形OBD中，由OB与BD的长，利用勾股定理求出OD的长，由AD+DO即可求出AO的长；（2）同理由AD-OD即可求出AO的长，综上，得到所有满足题意的AO的长．