Question

已知：如图，在平行四边形ABDC中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作BE的垂线交BE于点F，交BC于点G，连接EG，CF.

(1)求证：四边形ABGE是菱形；

(2)若∠ABC=60°，AB=4，AD=5，求CF的长.

Answer

（1）证明见解析；

（2）CF的长为

【解析】试题分析：（1）先证明四边形ABGE是平行四边形，再证AB=GB，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得四边形AEGE是菱形；（2）过点F作FM⊥BC于点M，先求出FM和CM的长度，再根据在Rt△FMC中，CF=求出即可；

试题解析：

证明：(1) BE平分

=

四边形ABCD是平行四边

AD∥BC且AD=BC

= ， = ，

AB=AE

AF⊥BE

= =90°

又 = ，BF=BF，

△ABF≌△GBF

AB=GB，AE=GB

又AD∥BC

四边形ABGE是平行四边形

又AB=GB

四边形ABGE是菱形

(2) 过点F作FM⊥BC于点M，如图所示：

,BG=AB=4,BC=AD=5

在Rt△BFG中，BF=cos∠GBF×BG=cos30°×4=

在Rt△BFM中,FM=BF=×=

BM=cos∠GBF×BF=cos30°×BF=

CM=BC－BM=5－3=2

Rt△FMC中，CF=