Question

如图，二次函数的图象与轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C.该抛物线的顶点为M.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）判断△BCM的形状，并说明理由.

（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P，A，C为顶点的三角形与△BCM相似？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）△BCM是Rt△；（3）O（0，0），P1（0， ），P2（9，0）．

【解析】试题分析：（1）已知抛物线图象上的三点坐标，可用待定系数法求出该抛物线的解析式；

（2）根据B、C、M的坐标，可求得△BCM三边的长，然后判断这三条边的长是否符合勾股定理即可；

（3）假设存在符合条件的P点；首先连接AC，根据A、C的坐标及（2）题所得△BDC三边的比例关系，即可判断出点O符合P点的要求，因此以P、A、C为顶点的三角形也必与△COA相似，那么分别过A、C作线段AC的垂线，这两条垂线与坐标轴的交点也符合点P点要求，可根据相似三角形的性质（或射影定理）求得OP的长，也就得到了点P的坐标．

【解析】
（1）∵二次函数y=ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，

∴，

解得：，

则抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；

（2）△BCM为直角三角形，理由为：

对于抛物线解析式y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，即顶点M坐标为（1，﹣4），

令x=0，得到y=﹣3，即C（0，﹣3），

根据勾股定理得：BC=3，BM=2，CM=，

∵BM2=BC2+CM2，

∴△BCM为直角三角形；

（3）若∠APC=90°，即P点和O点重合，如图1，

连接AC，

∵∠AOC=∠MCB=90°，且=，

∴Rt△AOC∽Rt△MCB，

∴此时P点坐标为（0，0）．

若P点在y轴上，则∠PAC=90°，如图2，过A作AP1⊥AC交y轴正半轴于P1，

∵Rt△CAP1∽Rt△COA∽Rt△BCM，

∴=，

即=，

∴点P1（0，）．

若P点在x轴上，则∠PCA=90°，如图3，过C作CP2⊥AC交x轴正半轴于P2，

∵Rt△P2CA∽Rt△COA∽Rt△BCM，

∴=，

即=，AP2=10，

∴点P2（9，0）．

∴符合条件的点有三个：O（0，0），P1（0，），P2（9，0）．

考点：二次函数综合题．