Question

如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（5，0）两点，与y轴交于点C（0，5）．

（1）求该抛物线所对应的函数关系式；

（2）D是笫一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连结BD、CD．设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S．

①求S关于m的函数关系式及自变量m的取值范围；

②当m为何值时，S有最大值，并求这个最大值；

③直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．

Answer

（1）抛物线的函数关系式为y=﹣x2+4x+5；

（2）①S关于m的函数关系式为s=﹣m2+m （0＜m＜5）；

②当m=时，S有最大值，S最大值=；

③直线BC能把△BDF分成面积之比为2：3的两部分，点D的坐标为（）或（）

【解析】（1）由抛物线与x轴的两个交点坐标可设抛物线的解析式y=a（x+1）（x-5），将点C（0，3）代入抛物线解析式中即可得出关于a一元一次方程，解方程即可求出a的值，从而得出抛物线的解析式；

（2）设直线BC的函数解析式为y=kx+b，结合点B、点C的坐标，利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，再由点横坐标为m得出点D、点E的坐标，结合两点间的距离公式以及三角形的面积公式，即可得出结论； 由 的结论，利用配方法将S关于m的函数关系式进行变形，从而得出结论；

结合图象可知△BDE和△BFE是等高的，由此得出它们的面积比=DE：EF，分两种情况考虑，根据两点间的距离公式即可得出关于m的分式方程，解方程即可得出m的值，将其代入到点D的坐标中即可得出结论.

（1）∵抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，5），

∴设y=a（x+1）（x﹣5），

∴5=a（0+1）（0﹣5），

解得a=﹣1，

∴抛物线的函数关系式为y=﹣（x+1）（x﹣5），

即y=﹣x2+4x+5；

（2）①设直线BC的函数关系式为y=kx+b，则

解得，

∴y=﹣x+5，

设D（m，﹣m2+4m+5），E（m，﹣m+5），

∴DE=﹣m2+4m+5+m﹣5=﹣m2+5m

∴s=（﹣m2+5m）=﹣m2+m （0＜m＜5）；

②s=﹣m2+m=，

∵，

∴当m=时，S有最大值，S最大值=；

③∵△BDE和△BFE是等高的，

∴它们的面积比=DE：EF，

（ⅰ）当DE：EF=2：3时，

即，

解得：（舍），

此时，D（）；

（ⅱ）当DE：EF=3：2时，

即，

解得：（舍），

此时，D（）．

综上所述，点D的坐标为（）或（）．

“点睛”本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、两点间的公式以及三角形的面积公式的综合应用，解题的关键是运用待定系数法求解析式；找出直线BC的函数解析式；运用配方法解决问题.解题时注意分类讨论的思想的运用.