Question

已知△ABC是等腰三角形，∠BAC=90°，CD=BC，DE⊥CE，DE=CE，连接AE，点M是AE的中点.

（1）如图1，若点D在BC边上，连接CM，当AB=4时，求CM的长；

（2）如图2，若点D在△ABC的内部，连接BD，点N是BD中点，连接MN，NE，求证MN⊥AE；

（3）如图3，将图2中的△CDE绕点C逆时针旋转，使∠BCD=30°，连接BD，点N是BD中点，连接MN，探索的值并直接写出结果

Answer

（1）；（2）证明过程见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）根据等腰直角三角形ABC得出BC的长度，然后根据等腰直角三角形DCE得出CE的长度，然后根据Rt△ACE的勾股定理得出AE的长度，从而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出答案；（2）延长EN到NF，使NE=NF，再连接BF，AF，然后证明△ABF≌△ACE，从而得出∠FAE=∠BAC=90°，然后根据平行线的性质得出答案；（3）根据第二题同样的方法得出MN=AF，AF=AE，从而得出答案.

试题解析：（1）∵AB=AC=4 ∠BAC=90° ∴BC=4 则CD=2 ∴CE=2，

根据Rt△ACE的勾股定理可得：AE= ∴CM=

（2）如图，延长EN到NF，使NE=NF，再连接BF，AF，

可得BF=DE=CE，∠FBN=∠NDE， 则∠ACE=90°-∠DCB

∠ABF=∠BDE-∠ABN=∠180°-∠DBC-∠DCB-∠EDC-∠ABN=180°-（∠DBC+∠ABN）-45°-∠DCB=90°-∠DCB

所以∠ACE=∠ABF，所以△ABF≌△ACE， 所以∠FAB=∠EAC， 所以∠FAE=∠BAC=90°，

因为MN//AF，所以MN⊥AE。

（3）同（2）可得MN=AF，AF=AE，

又AC=2CE，∠ACE=120°，可求得AE=， 所以

考点：（1）三角形全等的判定与性质；（2）直角三角形的性质；（3）平行线的性质.