Question

如图1，在直角坐标系中，已知点A（0，2）、点B（-2，0），过点B和线段OA的中点C作直线BC，以线段BC为边向上作正方形BCDE.

（1）填空：点D的坐标为_________，点E的坐标为_______________.

（2）若抛物线经过A、D、E三点，求该抛物线的解析式.

（3）若正方形和抛物线均以每秒个单位长度的速度沿射线BC同时向上平移，直至正方形的顶点E落在轴上时，正方形和抛物线均停止运动.

①在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为，求关于平移时间（秒）的函数关系式，并写出相应自变量的取值范围.

②运动停止时，求抛物线的顶点坐标.

Answer

（1）D的坐标为（-1，3），E的坐标为（-3，2）；

（2）抛物线的解析式为；

（3）①S与x的函数关系式为：

当0＜t≤时, S=5

当＜t≤1时，S=5t

当1＜t≤时，S=-5t2+15t

②抛物线的顶点坐标是（， ）.

【解析】（1）D（-1，3）、E（-3，2）（2分）

（2）抛物线经过（0，2）、（-1，3）、（-3，2），则



解得

∴

（3）①当点D运动到y轴上时，t=.



当0＜t≤时，如右图

设D′C′交y轴于点F

∵tan∠BCO= =2,又∵∠BCO=∠FCC′

∴tan∠FCC′=2, 即=2

∵CC′= t,∴FC′=2t.

∴S△CC′F =CC′·FC′= t×t=5 t2

当点B运动到点C时，t=1.当＜t≤1时，如右图

设D′E′交y轴于点G，过G作GH⊥B′C′于H.

在Rt△BOC中，BC=

∴GH= ,∴CH=GH=

∵CC′=t,∴HC′=t-,∴GD′=t-

∴S梯形CC′D′G =(t-+ t) =5t-

当点E运动到y轴上时，t=.

当1＜t≤时，如右图所示

设D′E′、E′B′分别交y轴于点M、N

∵CC′=t，B′C′=,

∴CB′=t-,∴B′N=2CB′=t-

∵B′E′=,∴E′N=B′E′-B′N=-t

∴E′M=E′N=(-t)

∴S△MNE′ =(-t)· (-t)=5t2-15t+

∴S五边形B′C′D′MN =S正方形B′C′D′E′ -S△MNE′ = (5t2-15t+)=-5t2+15t-

综上所述，S与x的函数关系式为：

当0＜t≤时, S=5

当＜t≤1时，S=5t

当1＜t≤时，S=-5t2+15t



②当点E运动到点E′时，运动停止.如下图所示

∵∠CB′E′=∠BOC=90°，∠BCO=∠B′CE′

∴△BOC∽△E′B′C

∴

∵OB=2，B′E′=BC=

∴

∴CE′=

∴OE′=OC+CE′=1+=

∴E′（0，）

由点E（-3，2）运动到点E′（0， ）,可知整条抛物线向右平移了3个单位，向上平移了个单位.

∵= 

∴原抛物线顶点坐标为（， ）

∴运动停止时，抛物线的顶点坐标为（， ）