Question

如图①，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED．

（1）探究猜想：

①若∠A=20°，∠D=40°，则∠AED=               °

②猜想图①中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系，并用两种不同的方法证明你的结论．

（2）拓展应用：

如图②，射线FE与l₁，l₂交于分别交于点E、F，AB∥CD，a，b，c，d分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域a，b位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（任写出两种，可直接写答案）．

Answer

（1）① 60；②∠AED=∠A+∠D；（2）当P在a区域时，∠PEB=∠PFC+∠EPF；当P点在b区域时，∠PFC=∠PEB+∠EPF；当P点在区域c时，∠EPF+∠PEB+∠PFC=360°；当P点在区域d时，∠EPF=∠PEB+∠PFC．

【解析】试题分析：（1）①根据平行线的性质求出角的度数即可；②本题的方法一，利用平行线的性质和外角的性质即可得出结论；方法二利用平行线的性质得出即可；（2）本题分四种情况讨论，画出图形，利用平行线的性质和三角形外角性质得出结论即可.

试题解析：

（1）① ∠AED=60 °

②∠AED=∠A+∠D，

证明：方法一、延长DE交AB于F，如图1，

∵AB∥CD，

∴∠DFA=∠D，

∴∠AED=∠A+∠DFA；

方法二、过E作EF∥AB，如图2，

∵AB∥CD，

∴AB∥EF∥CD，

∴∠A=∠AEF，∠D=∠DEF，

∴∠AED=∠AEF+∠DEF=∠A+∠D；

（2）任意写一个。

当P在a区域时，如图3，∠PEB=∠PFC+∠EPF；

当P点在b区域时，如图4，∠PFC=∠PEB+∠EPF；

当P点在区域c时，如图5，∠EPF+∠PEB+∠PFC=360°；

当P点在区域d时，如图6，∠EPF=∠PEB+∠PFC．

点睛：本题的关键是辅助线的画法，这类题型辅助线一般选择延长中间点的线段，构造三角形，利用平行线的性质和三角形的外角等于与它不相邻的两个外角的和来解决；或是过中间的点作平行线，利用平行线的性质解决问题即可.