Question

如图，抛物线y＝－x²＋2x＋m＋1交x轴于点A(a，0)和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个判断：①当x>0时，y>0；②若a＝－1，则b＝4；③抛物线上有两点P（x₁，y₁）和Q（x₂，y₂），若x₁<1< x₂，且x₁＋x₂>2，则y₁> y₂；④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m＝2时，四边形EDFG周长的最小值为6．其中正确判断的序号是（   ）

A. ①    B. ②    C. ③    D. ④

Answer

C

【解析】试题分析：①当x＞0时，函数图象过一四象限，当0＜x＜b时，y＞0；当x＞b时，y＜0，故本选项错误；

②二次函数对称轴为x=﹣=1，当a=﹣1时有=1，解得b=3，故本选项错误；

③∵x1+x2＞2，

∴＞1，

又∵x1﹣1＜1＜x2﹣1，

∴Q点距离对称轴较远，

∴y1＞y2，故本选项正确；

④如图，作D关于y轴的对称点D′，E关于x轴的对称点E′，连接D′E′，D′E′与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值．当m=2时，二次函数为y=﹣x2+2x+3，顶点纵坐标为y=﹣1+2+3=4，D为（1，4），则D′为（﹣1，4）；C点坐标为C（0，3）；则E为（2，3），E′为（2，﹣3）；则DE==；D′E′=；所以四边形EDFG周长的最小值为，故本选项错误．

故选C．