Question

如图，在平面直角坐标系中，,⊙的半径为．若是⊙上的一个动点，线段与y轴交于点，则面积的最大值是（   ）

A.     B.     C.     D.

Answer

A

【解析】分析：当FC与⊙A相切且位于x轴下方时，△BCE的面积有最大值，由切线的性质可知△AFC为直角直角三角形，依据勾股定理可求得FC的长，然后证明△OEC∽△FAC，由相似三角形的性质可求得OE的长，从而得到BE的长，最后依据三角形的面积公式求解即可。

【解析】
如图所示：当CF与⊙A相切时，△BCE的面积有最大值

∵CF与⊙A相切，
∴AF⊥FC，
∴△AFC为直角三角形．
∴FC= ，

∵∠AFC=∠EOC，∠OCE=∠FCA，

∴△OEC∽△FAC．

∴ 即解得；OE= ，

∴BE=OB+OE=

∴△CBE面积的最大值= BE•OC= ；

故选A。

点睛：解答本题主要应用了切线的性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定、三角形的面积公式，找出△EBC取得最大值的条件是解题的关键，当CF与⊙A相切时，面积才有最大值。