Question

抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点(-3, 0)和(-2 ,0)之间，其部分图象如图，则以下结论:①<0 ;②<0;③=2;④方程有两个相等的实数根，其中正确结论的个数为______个.

Answer

3

【解析】试题解析：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，所以①错误；
∵顶点为D（-1，2），
∴抛物线的对称轴为直线x=-1，
∵抛物线与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，
∴当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以②正确；
∵抛物线的顶点为D（-1，2），
∴a-b+c=2，
∵抛物线的对称轴为直线x=-=-1，
∴b=2a，
∴a-2a+c=2，即c-a=2，所以③正确；
∵当x=-1时，二次函数有最大值为2，
即只有x=-1时，ax2+bx+c=2，
∴方程ax2+bx+c -2=0有两个相等的实数根，所以④正确．
故正确结论的个数有3个．

【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y= ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=-；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2-4ac =0，抛物线与x轴有一个交点；当b2-4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．