Question

如图，已知点O (0，0)，A (－5，0)，B (2，1)，抛物线(h为常数)与y轴的交点为C。

(1) 抛物线经过点B，求它的解析式，并写出此时抛物线的对称轴及顶点坐标；

(2)设点C的纵坐标为，求的最大值，此时抛物线上有两点，，其中，比较与的大小；

(3)当线段OA被只分为两部分，且这两部分的比是1：4时，求h的值。

Answer

（1）对称轴为：，顶点．（2）＜．（3）的值为或．

【解析】试题分析：（1）把点B的坐标代入函数解析式，列出关于h的方程，借助于方程可以求得h的值；利用抛物线函数解析式得到该图象的对称轴和顶点坐标；

（2）把点C的坐标代入函数解析式得到：yC=-h2+1，则由二次函数的最值的求法易得yc的最大值，并可以求得此时抛物线的解析式，根据抛物线的增减性来求y1与y2的大小；

（3）根据已知条件“O（0，0），A（-5，0），线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是1：4”可以推知把线段OA被l只分为两部分的点的坐标分别是（-1，0），（-4，0）．由二次函数图象上点的坐标特征可以求得h的值．

试题解析：（1）把代入，得：，

∴解析式为：（或）．

∴对称轴为：，顶点．

（2）点的横坐标为0，则，

∴当时，有最大值为1．

此时，抛物线为：，对称轴为：（y轴），

当 ≥时，随着的增大而减小，

∴＞≥时，＜．

（3）把线段OA分1：4两部分的点是或，

把代入，得：或．

但时，线段OA被分为三部分，不合题意，舍去．

同样，把代入，

得：或（舍去）

∴的值为或．

【点睛】本题考查了二次函数综合题．该题涉及到了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数最值的求法以及点的坐标与图形的性质等知识点，综合性比较强，难度较大．解答（3）题时，注意对h的值根据实际意义进行取舍．