Question

已知：如图①，在平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB．△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿着CB方向匀速移动，速度为1cm/s；当△PNM停止平移时，点Q也停止移动，如图②．设移动时间为t（s）（0＜t＜4）．连接PQ、MQ、MC．解答下列问题：

（1）当t为何值时，PQ∥AB？

（2）当t=3时，求△QMC的面积；

（3）是否存在某一时刻t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）； （2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）根据勾股定理求出AC，根据PQ∥AB，得出关于t的比例式，求解即可；

（2）过点P作PD⊥BC于D，根据△CPD∽△CBA，列出关于t的比例式，表示出PD的长，再根据S△QMC=QC•PD，进行计算即可；

（3）过点M作ME⊥BC的延长线于点E，根据△CPD∽△CBA，得出，，再根据△PDQ∽△QEM，得到，即PD•EM=QE•DQ，进而得到方程，求得或t=0（舍去），即可得出当时，PQ⊥MQ．

试题解析：（1）如图所示，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB，

∴Rt△ABC中，AC=4，

若PQ∥AB，则有，

∵CQ=PA=t，CP=4﹣t，QB=5﹣t，

∴，

即20﹣9t+t2=t2，

解得，

当时，PQ∥AB；

（2）如图所示，过点P作PD⊥BC于点D，

∴∠PDC=∠A=90°，

∵∠PCD=∠BCA

∴△CPD∽△CBA，

∴，

当t=3时，CP=4﹣3=1，

∵BA=3，BC=5，

∴，

∴，

又∵CQ=3，PM∥BC，

∴；

（3）存在时刻，使PQ⊥MQ，

理由如下：如图所示，过点M作ME⊥BC的延长线于点E，

∵△CPD∽△CBA，

∴，

∵BA=3，CP=4﹣t，BC=5，CA=4，

∴，

∴，．

∵PQ⊥MQ，

∴∠PDQ=∠QEM=90°，∠PQD=∠QME，

∴△PDQ∽△QEM，

∴，即PD•EM=QE•DQ．

∵ ，

，

，

∴，

即2t2﹣3t=0，

∴或t=0（舍去），

∴当时，PQ⊥MQ．

考点：四边形综合题.