Question

如图，二次函数y=ax²﹣x+2（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A（﹣4，0）．

（1）求抛物线与直线AC的函数解析式；

（2）若点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，四边形OCDA的面积为S，求S关于m的函数关系；

（3）若点E为抛物线上任意一点，点F为x轴上任意一点，当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出满足条件的所有点E的坐标．

Answer

（1） （2）S=﹣m2﹣4m+4（﹣4＜m＜0）（3）（﹣3，2）、（，﹣2）、（，﹣2）

【解析】

试题分析：（1）把点A的坐标代入抛物线的解析式，就可求得抛物线的解析式，根据A，C两点的坐标，可求得直线AC的函数解析式；

（2）先过点D作DH⊥x轴于点H，运用割补法即可得到：四边形OCDA的面积=△ADH的面积+四边形OCDH的面积，据此列式计算化简就可求得S关于m的函数关系；

（3）由于AC确定，可分AC是平行四边形的边和对角线两种情况讨论，得到点E与点C的纵坐标之间的关系，然后代入抛物线的解析式，就可得到满足条件的所有点E的坐标．

试题解析：（1）∵A（﹣4，0）在二次函数y=ax2﹣x+2（a≠0）的图象上，

∴0=16a+6+2，

解得a=﹣，

∴抛物线的函数解析式为y=﹣x2﹣x+2；

∴点C的坐标为（0，2），

设直线AC的解析式为y=kx+b，则

，

解得 ，

∴直线AC的函数解析式为：；

（2）∵点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，

∴D（m，﹣m2﹣m+2），

过点D作DH⊥x轴于点H，则DH=﹣m2﹣m+2，AH=m+4，HO=﹣m，

∵四边形OCDA的面积=△ADH的面积+四边形OCDH的面积，

∴S=（m+4）×（﹣m2﹣m+2）+（﹣m2﹣m+2+2）×（﹣m），

化简，得S=﹣m2﹣4m+4（﹣4＜m＜0）；

（3）①若AC为平行四边形的一边，则C、E到AF的距离相等，

∴|yE|=|yC|=2，

∴yE=±2．

当yE=2时，解方程﹣x2﹣x+2=2得，

x1=0，x2=﹣3，

∴点E的坐标为（﹣3，2）；

当yE=﹣2时，解方程﹣x2﹣x+2=﹣2得，

x1=，x2=，

∴点E的坐标为（，﹣2）或（，﹣2）；

②若AC为平行四边形的一条对角线，则CE∥AF，

∴yE=yC=2，

∴点E的坐标为（﹣3，2）．

综上所述，满足条件的点E的坐标为（﹣3，2）、（，﹣2）、（，﹣2）．

考点：1、二次函数综合题；2、解一元二次方程-公式法；3、平行四边形的性质