Question

如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上的一点，连结CF并延长交AB于点M，MN⊥CM交射线AD于点N．

（1）当F为BE中点时，求证：AM=CE；

（2）若 =2，求的值；

（3）若=n，当n为何值时，MN∥BE？

Answer

(1)详见解析；（2）3；（3）n=4．

【解析】

试题分析：（1）如图1，易证△BMF≌△ECF，则有BM=EC，然后根据E为CD的中点及AB=DC就可得到AM=EC；（2）如图2，设MB=a，易证△ECF∽△BMF，根据相似三角形的性质可得EC=2a，由此可得AB=4a，AM=3a，BC=AD=2a．易证△AMN∽△BCM，根据相似三角形的性质即可得到AN= a，从而可得ND=AD﹣AN=a，就可求出的值；（3）如图3，设MB=a，同（2）可得BC=2a，CE=na．由MN∥BE，MN⊥MC可得∠EFC=∠HMC=90°，从而可证到△MBC∽△BCE，然后根据相似三角形的性质即可求出n的值．

试题解析：（1）当F为BE中点时，如图1，

则有BF=EF．

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=DC，AB∥DC，

∴∠MBF=∠CEF，∠BMF=∠ECF．

在△BMF和△ECF中，

，

∴△BMF≌△ECF，

∴BM=EC．

∵E为CD的中点，

∴EC=DC，

∴BM=EC=DC=AB，

∴AM=BM=EC；

（2）如图2，

设MB=a，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC，AB=DC，∠A=∠ABC=∠BCD=90°，AB∥DC，

∴△ECF∽△BMF，

∴=2，

∴EC=2a，

∴AB=CD=2CE=4a，AM=AB﹣MB=3a．

∵=2，

∴BC=AD=2a．

∵MN⊥MC，

∴∠CMN=90°，

∴∠AMN+∠BMC=90°．

∵∠A=90°，

∴∠ANM+∠AMN=90°，

∴∠BMC=∠ANM，

∴△AMN∽△BCM，

∴ ，

∴ ，

∴AN=a，ND=AD﹣AN=2a﹣a=a，

∴=3；

（3）当=n时，如图3，

设MB=a，同（2）可得BC=2a，CE=na．

∵MN∥BE，MN⊥MC，

∴∠EFC=∠HMC=90°，

∴∠FCB+∠FBC=90°．

∵∠MBC=90°，

∴∠BMC+∠FCB=90°，

∴∠BMC=∠FBC．

∵∠MBC=∠BCE=90°，

∴△MBC∽△BCE，

∴ ，

∴ ，

∴n=4．

考点：相似形综合题；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．