Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长，与BC的延长线交于点F．

（1）求证：BD=BF；

（2）若BC=6，AD=4，求⊙O的面积．

Answer

(1)证明详见解析；(2)16π.

【解析】

试题分析：（1）作辅助线，连接OE，根据切线的性质知OE⊥AC，已知∠ACB=90°，可知OE∥BC，得∠OED=∠F，再根据OD=OE，可知∠ODE=∠OED，从而可得∠ODE=∠F，BD=BF；

（2）根据△AOE∽△ABC，可将⊙O的半径求出，代入圆的面积公式，计算即可．

试题解析：（1）证明：如图，连接OE，

∵AC切⊙O于E，

∴OE⊥AC，

又∠ACB=90°，即BC⊥AC，

∴OE∥BC，

∴∠OED=∠F，

又OD=OE，

∴∠ODE=∠OED，

∴∠ODE=∠F，

∴BD=BF；

（2）【解析】
设⊙O半径为r，

由OE∥BC得△AOE∽△ABC，

∴，即，

∴﹣r﹣12=0，

解之得=4，=﹣3（舍），

经检验，r=4是原分式的解．

∴16π．

考点：切线的性质；相似多边形的性质．