Question

如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，连接OD．

（1）求证：△OCD是等边三角形；

（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；

（3）△AOD能否为等边三角形？为什么？

（4）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．

Answer

(1)、证明过程见解析；(2)、直角三角形、理由见解析；(3)、不能，理由见解析；(4)、α=110°或125°或140°

【解析】

试题分析：(1)、根据△BOC≌△ADC得到OC=DC，结合∠OCD=60°，从而得出等边三角形；(2)、根据△BOC≌△ADC，∠α=150°得到∠ADC=∠BOC=150°，根据等边三角形得到∠ODC=60°，从而得出∠ADO=90°，从而得到三角形的形状；(3)、由△BOC≌△ADC，得∠ADC=∠BOC=∠α，当△AOD为等边三角形时，则∠ADO=60°，结合∠ODC=60°得出∠ADC=120°，又根据∠AOD=∠DOC=60°得出∠AOC=120°，从而求出∠AOC+∠AOB+∠BOC≠360°，从而得到答案；(4)、根据△OCD是等边三角形得到∠COD=∠ODC=60°，根据三角形的性质得出∠ADC=∠BOC=α，∠AOD=190°－α，∠OAD=50°，然后分三种情况分别求出α的大小.

试题解析：(1)、∵△BOC≌△ADC，∴OC=DC．∵∠OCD=60°，∴△OCD是等边三角形．

(2)、△AOD是Rt△．理由如下：

∵△OCD是等边三角形，∴∠ODC=60°， ∵△BOC≌△ADC，∠α=150°，∴∠ADC=∠BOC=∠α=150°，

∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°，∴△AOD是Rt△．

(3)、不能.理由：由△BOC≌△ADC，得∠ADC=∠BOC=∠α.

若△AOD为等边三角形，则∠ADO=60°，又∠ODC=60°，∴∠ADC=∠α=120°.

又∠AOD=∠DOC=60°，∴∠AOC=120°，又∵∠AOB=110°，

∴∠AOC+∠AOB+∠BOC=120°+120°+110°=350°<360°． 所以△AOD不可能为等边三角形.

(4)、∵△OCD是等边三角形，∴∠COD=∠ODC=60°． ∵∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=α，

∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α， ∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°，

∴∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-（190°-α）-（α-60°）=50°．

①当∠AOD=∠ADO时，190°-α=α-60°，∴α=125°．

②当∠AOD=∠OAD时，190°-α=50°，∴α=140°．

③当∠ADO=∠OAD时，α-60°=50°，∴α=110°．

综上所述：当α=110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．

考点：(1)、三角形全等；(2)、分类讨论思想.