Question

已知，在矩形ABCD中，连接对角线AC，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△EFG，并将它沿直线AB向左平移，直线EG与BC交于点H，连接AH，CG．

（1）如图①，当AB=BC，点F平移到线段BA上时，线段AH，CG有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你的猜想；

（2）如图②，当AB=BC，点F平移到线段BA的延长线上时，（1）中的结论是否成立，请说明理由；

（3）如图③，当AB=nBC（n≠1）时，对矩形ABCD进行如已知同样的变换操作，线段AH，CG有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你的猜想．

Answer

(1) AH=CG，AH⊥CG ；(2) 仍然成立，理由详见解析；(3) AH=nCG，AH⊥CG．理由详见解析.

【解析】

试题分析：（1）延长AH与CG交于点T，如图①，易证BH=BG，从而可证到△ABH≌△CBG，则有AH=CG，∠HAB=∠GCB，从而可证到∠HAB+∠AGC=90°，进而可证到AH⊥CG．

（2）延长CG与AH交于点Q，如图②，仿照（1）中的证明方法就可解决问题．

（3）延长AH与CG交于点N，如图③，易证BH∥EF，可得△GBH∽△GFE，则有，也就有，从而可证到△ABH∽△CBG，则有=n，∠HAB=∠GCB，进而可证到AH=nCG，AH⊥CG．

试题解析：（1）AH=CG，AH⊥CG．

证明：延长AH与CG交于点T，如图①，

由旋转和平移的性质可得：EF=AB，FG=BC，∠EFG=∠ABC．

∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，

∴EF=GF，∠EFG=∠ABC=90°．

∴∠CBG=90°，∠EGF=45°．

∴∠BHG=90°﹣45°=45°=∠EGF．

∴BH=BG．

在△ABH和△CBG中，

AB=BC，∠ABH=∠CBG，BH=BG，

∴△ABH≌△CBG（SAS）．

∴AH=CG，∠HAB=∠GCB．

∴∠HAB+∠AGC=∠GCB+∠AGC=90°．

∴∠ATC=90°．

∴AH⊥CG．

（2）（1）中的结论仍然成立．

证明：延长CG与AH交于点Q，如图②，

由旋转和平移的性质可得：EF=AB，FG=BC，∠EFG=∠ABC．

∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，

∴EF=GF，∠EFG=∠ABC=90°．

∴∠ABH=90°，∠EGF=45°．

∴∠BGH=∠EGF=45°．

∴∠BHG=90°﹣45°=45°=∠BGH．

∴BH=BG．

在△ABH和△CBG中，

AB=BC，∠ABH=∠CBG，BH=BG，

∴△ABH≌△CBG（SAS）．

∴AH=CG，∠HAB=∠GCB．

∴∠GCB+∠CHA=∠HAB+∠CHA=90°．

∴∠CQA=90°．

∴CG⊥AH．

（3）AH=nCG，AH⊥CG．理由如下：

延长AH与CG交于点N，如图③，

由旋转和平移的性质可得：EF=AB，FG=BC，∠EFG=∠ABC．

∵四边形ABCD是矩形，AB=nBC，

∴EF=nGF，∠EFG=∠ABC=90°．

∴∠EFG+∠ABC=180°．

∴BH∥EF．

∴△GBH∽△GFE．

∴．

∵，

∴．

∵∠ABH=∠CBG，

∴△ABH∽△CBG．

∴=n，∠HAB=∠GCB．

∴AH=nCG，∠HAB+∠AGC=∠GCB+∠AGC=90°．

∴∠ANC=90°．

∴AH⊥CG．

考点：四边形综合题；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质；平移的性质；旋转的性质；相似三角形的判定与性质．