Question

如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，点B是⊙O上一点，连接BP并延长，交直线l于点C，使得AB=AC．

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）若PC=，OA=3，求⊙O的半径和线段PB的长．

Answer

(1)证明详见解析；(2)．

【解析】

试题分析：（1）连结OB，如图，由等腰三角形的性质得∠1=∠2，∠4=∠5，由OA⊥AC得∠2+∠3=90°，加上∠3=∠4，易得∠5+∠1=90°，即∠OBA=90°，于是根据切线的判定定理可得AB是⊙O的切线；

（2）作OH⊥PB于H，如图，根据垂径定理得到BH=PH，设⊙O的半径为r，则PA=OA﹣OP=3﹣r，根据勾股定理得到，，所以，解得r=1，则PA=2，然后证明Rt△APC∽Rt△HPO，利用相似比可计算出PH=，于是得到PB=2PH=．

试题解析：（1）连结OB，如图，

∵AB=AC，

∴∠1=∠2，

∵OA⊥AC，

∴∠2+∠3=90°，

∵OB=OP，

∴∠4=∠5，

而∠3=∠4，

∴∠5+∠2=90°，

∴∠5+∠1=90°，即∠OBA=90°，

∴OB⊥AB，

∴AB是⊙O的切线；

（2）作OH⊥PB于H，如图，则BH=PH，

设⊙O的半径为r，则PA=OA﹣OP=3﹣r，

在Rt△PAC中，，

在Rt△OAB中，，

而AB=AC，

∴，解得r=1，

即⊙O的半径为1；

∴PA=2，

∵∠3=∠4，

∴Rt△APC∽Rt△HPO，

∴，即，

∴PH=，

∴PB=2PH=．

考点：切线的判定；垂径定理．