Question

如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点A出发沿AD向点D匀速运动，速度是1cm/s，过点P作PE∥AC交DC于点E，同时，点Q从点C出发沿CB方向，在射线CB上匀速运动，速度是2cm/s，连接PQ、QE，PQ与AC交与点F，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．

（1）当t为何值时，四边形PFCE是平行四边形；

（2）设△PQE的面积为s（cm²），求s与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使得△PQE的面积为矩形ABCD面积的；

（4）是否存在某一时刻t，使得点E在线段PQ的垂直平分线上．

Answer

（1）（2）s=﹣t2+9t（3）2或6（4）

【解析】

试题分析：（1）四边形PFCE是平行四边形则PD=CQ，据此即可得到关于t的方程，即可求解；

（2）用t表示出PD、EC、DE、CQ的长，则四边形DPQC、△PDE以及△QCE的面积可用t表示，则进一步表示出△PQE的面积，从而得到函数解析式；

（3）根据△PQE的面积为矩形ABCD面积的即可列方程求解；

（4）点E在线段PQ的垂直平分线上，则PE=QE，然后根据勾股定理表示出PE2和QE2，即可列方程求得t的值．

试题解析：（1）PD=8﹣t，CQ=2t，

根据题意得：8﹣t=2t，

解得：t=；

（2）=（PD+CQ）·CD=×6（8﹣t+2t）=3（8+t）=3t+24，

∵PE∥AC，

∴，

∴，

则DE=﹣t+6，

则EC=6﹣（﹣t+6）=t，

则=PD·DE=（8﹣t）·（﹣t+6），

=CQ·EC=×2t·t=t2，

则s=3t+24﹣（8﹣t）·（﹣t+6）﹣t2，

即s=﹣t2+9t；

（3）=6×8=48，

根据由题意得：﹣t2+9t=×48，

解得：t=2或6；

（4）在直角△PDE中，PE2=（8﹣t）2+（﹣t+6）2，

在直角△COQ中，QE2=（2t）2+（t）2，

当点E在线段PQ的垂直平分线上时，PE2=QE2，

则（8﹣t）2+（﹣t+6）2=（2t）2+（t）2，

解得：t=或（舍去）．

则t=．

考点：四边形综合题