Question

如图，⊙O的半径为4，B是⊙O外一点，连接OB，且OB=6，过点B作⊙O的切线BD，切点为D，延长BO交⊙O于点A，过点A作切线BD的垂线，垂足为C．

（1）求证：AD平分∠BAC；

（2）求CD的长．

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

试题分析：（1）首先连接OD，由点B作⊙O的切线BD，过点A作切线BD的垂线，易证得OD∥AC，继而证得∠1=∠2=∠3，则可证得结论；

（2）易证得△BOD∽△BAC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论．

试题解析：(1)连接OD，

∵BD是⊙O的切线，

∴OD⊥BD，

∵AC⊥BD，

∴OD∥AC，

∴∠2=∠3，

∵OA=OD，

∴∠1=∠3，

∴∠1=∠2，

即AD平分∠BAC；

（2）BD=，

∵OD∥AC，

∴△BOD∽△BAC，

∴，

∴，

解得：BC=．

∴CD=．

考点：1、圆的切线，2、相似三角形的性质与判定