Question

如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点，过点A、D分别作BC与AB的平行线，相交于点E，连结EC、AD．

（1）求证：四边形ADCE是矩形；

（2）当∠BAC=90°时，求证：四边形ADCE是正方形．

Answer

(1)、证明过程见解析；(2)、证明过程见解析

【解析】

试题分析：(1)、先由AB=AC，点D是边BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出BD=CD，AD⊥BC，再由AE∥BD，DE∥AB，得出四边形AEDB为平行四边形，那么AE=BD=CD，又AE∥DC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形ADCE是平行四边形，又∠ADC=90°，根据有一个角是直角的平行四边形即可证明四边形ADCE是矩形；(2)、设AC与DE相交于点O．由DE∥AB，根据平行线的性质得出∠DOC=∠BAC=90°，即AC⊥DE，又由（1）知四边形ADCE是矩形，根据对角线互相垂直的矩形是正方形即可证明四边形ADCE是正方形．

试题解析：(1)、∵AB=AC，点D是边BC的中点， ∴BD=CD，AD⊥BC， ∴∠ADC=90°．

∵AE∥BD，DE∥AB， ∴四边形AEDB为平行四边形， ∴AE=BD=CD， 又∵AE∥DC，

∴四边形ADCE是平行四边形， ∵∠ADC=90°， ∴四边形ADCE是矩形；

(2)、设AC与DE相交于点O． ∵DE∥AB，∠BAC=90°， ∴∠DOC=∠BAC=90°， 即AC⊥DE，

又∵由（1）知四边形ADCE是矩形， ∴四边形ADCE是正方形．

考点：(1)、正方形的判定；(2)、矩形的判定