Question

如图（1），菱形ABCD对角线AC、BD的交点O是四边形EFGH对角线FH的中点，四个顶点A、B、C、D分别在四边形EFGH的边EF、FG、GH、HE上．

（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；

（2）如图（2）若四边形EFGH是矩形，当AC与FH重合时，已知，且菱形ABCD的面积是20，求矩形EFGH的长与宽．

Answer

(1)证明过程见解析；(2)长为8，宽为4.

【解析】

试题分析：(1)、根据菱形的性质可得出OA=OC，OD=OB，再由中点的性质可得出OF=OH，结合对顶角相等即可利用全等三角形的判定定理（SAS）证出△AOF≌△COH，从而得出AF∥CH，同理可得出DH∥BF，依据平行四边形的判定定理即可证出结论；(2)、设矩形EFGH的长为a、宽为b．根据勾股定理及边之间的关系可找出AC=，BD=，利用菱形的性质、矩形的性质可得出∠AOB=∠AGH=90°，从而可证出△BAO∽△CAG，根据相似三角形的性质可得出，套入数据即可得出a=2b①，再根据菱形的面积公式得出a2+b2=80②，联立①②解方程组即可得出结论．

试题解析：(1)/∵点O是菱形ABCD对角线AC、BD的交点， ∴OA=OC，OD=OB，

∵点O是线段FH的中点， ∴OF=OH．

在△AOF和△COH中，有， ∴△AOF≌△COH（SAS）， ∴∠AFO=∠CHO， ∴AF∥CH．

同理可得：DH∥BF． ∴四边形EFGH是平行四边形．

(2)、设矩形EFGH的长为a、宽为b，则AC=． ∵=2，

∴BD=AC=，OB=BD=，OA=AC=．

∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOB=90°． ∵四边形EFGH是矩形， ∴∠AGH=90°，

∴∠AOB=∠AGH=90°， 又∵∠BAO=∠CAG， ∴△BAO∽△CAG，

∴，即， 解得：a=2b①．

∵S菱形ABCD=AC•BD=••=20， ∴a2+b2=80②．

联立①②解得：，或（舍去）．

∴矩形EFGH的长为8，宽为4．

考点：(1)、相似三角形的判定与性质；(2)、平行四边形的判定；(3)、菱形的性质；(4)、矩形的性质．